\(\int \frac {(-\sec (e+f x))^n}{\sqrt {1+\sec (e+f x)}} \, dx\) [301]

Optimal result

Integrand size = 23, antiderivative size = 73 \[ \int \frac {(-\sec (e+f x))^n}{\sqrt {1+\sec (e+f x)}} \, dx=-\frac {\operatorname {AppellF1}\left (n,\frac {1}{2},1,1+n,\sec (e+f x),-\sec (e+f x)\right ) (-\sec (e+f x))^n \tan (e+f x)}{f n \sqrt {1-\sec (e+f x)} \sqrt {1+\sec (e+f x)}} \]

[Out]

-AppellF1(n,1,1/2,1+n,-sec(f*x+e),sec(f*x+e))*(-sec(f*x+e))^n*tan(f*x+e)/f/n/(1-sec(f*x+e))^(1/2)/(1+sec(f*x+e
))^(1/2)

Rubi [A] (verified)

Time = 0.08 (sec) , antiderivative size = 73, normalized size of antiderivative = 1.00, number of steps used = 2, number of rules used = 2, \(\frac {\text {number of rules}}{\text {integrand size}}\) = 0.087, Rules used = {3911, 141} \[ \int \frac {(-\sec (e+f x))^n}{\sqrt {1+\sec (e+f x)}} \, dx=-\frac {\tan (e+f x) (-\sec (e+f x))^n \operatorname {AppellF1}\left (n,\frac {1}{2},1,n+1,\sec (e+f x),-\sec (e+f x)\right )}{f n \sqrt {1-\sec (e+f x)} \sqrt {\sec (e+f x)+1}} \]

[In]

Int[(-Sec[e + f*x])^n/Sqrt[1 + Sec[e + f*x]],x]

[Out]

-((AppellF1[n, 1/2, 1, 1 + n, Sec[e + f*x], -Sec[e + f*x]]*(-Sec[e + f*x])^n*Tan[e + f*x])/(f*n*Sqrt[1 - Sec[e
+ f*x]]*Sqrt[1 + Sec[e + f*x]]))

Rule 141

Int[((a_) + (b_.)*(x_))^(m_)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[(b*e - a*f
)^p*((a + b*x)^(m + 1)/(b^(p + 1)*(m + 1)*(b/(b*c - a*d))^n))*AppellF1[m + 1, -n, -p, m + 2, (-d)*((a + b*x)/(
b*c - a*d)), (-f)*((a + b*x)/(b*e - a*f))], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n}, x] &&  !IntegerQ[m] &&  !Int
egerQ[n] && IntegerQ[p] && GtQ[b/(b*c - a*d), 0] &&  !(GtQ[d/(d*a - c*b), 0] && SimplerQ[c + d*x, a + b*x])

Rule 3911

Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.))^(n_)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_), x_Symbol] :> Dist[(-((-a
)*(d/b))^n)*(Cot[e + f*x]/(a^(n - 1)*f*Sqrt[a + b*Csc[e + f*x]]*Sqrt[a - b*Csc[e + f*x]])), Subst[Int[x^(m - 1
/2)*((a - x)^(n - 1)/Sqrt[2*a - x]), x], x, a + b*Csc[e + f*x]], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, m, n}, x] && EqQ[
a^2 - b^2, 0] &&  !IntegerQ[m] && GtQ[a, 0] &&  !IntegerQ[n] && LtQ[a*(d/b), 0]

Rubi steps \begin{align*} \text {integral}& = \frac {\tan (e+f x) \text {Subst}\left (\int \frac {(1-x)^{-1+n}}{\sqrt {2-x} x} \, dx,x,1+\sec (e+f x)\right )}{f \sqrt {1-\sec (e+f x)} \sqrt {1+\sec (e+f x)}} \\ & = -\frac {\operatorname {AppellF1}\left (n,\frac {1}{2},1,1+n,\sec (e+f x),-\sec (e+f x)\right ) (-\sec (e+f x))^n \tan (e+f x)}{f n \sqrt {1-\sec (e+f x)} \sqrt {1+\sec (e+f x)}} \\ \end{align*}

Mathematica [B] (warning: unable to verify)

Leaf count is larger than twice the leaf count of optimal. \(2951\) vs. \(2(73)=146\).

Time = 6.18 (sec) , antiderivative size = 2951, normalized size of antiderivative = 40.42 \[ \int \frac {(-\sec (e+f x))^n}{\sqrt {1+\sec (e+f x)}} \, dx=\text {Result too large to show} \]

[In]

Integrate[(-Sec[e + f*x])^n/Sqrt[1 + Sec[e + f*x]],x]

[Out]

(3*Sqrt[2]*AppellF1[1/2, -1/2 + n, 1 - n, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*(Sec[(e + f*x)/2]^2)^n
*(-Sec[e + f*x])^n*Sec[e + f*x]^(-1/2 - n + (-1 + 2*n)/2)*(Cos[(e + f*x)/2]^2*Sec[e + f*x])^n*Tan[(e + f*x)/2]
)/(f*(3*AppellF1[1/2, -1/2 + n, 1 - n, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + (2*(-1 + n)*AppellF1[3/
2, -1/2 + n, 2 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + (-1 + 2*n)*AppellF1[3/2, 1/2 + n, 1 - n, 5
/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2])*Tan[(e + f*x)/2]^2)*((3*AppellF1[1/2, -1/2 + n, 1 - n, 3/2, Tan[
(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*Cos[e + f*x]*(Sec[(e + f*x)/2]^2)^(1 + n)*(Cos[(e + f*x)/2]^2*Sec[e + f*x
])^n*Sqrt[1 + Sec[e + f*x]])/(Sqrt[2]*(3*AppellF1[1/2, -1/2 + n, 1 - n, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x
)/2]^2] + (2*(-1 + n)*AppellF1[3/2, -1/2 + n, 2 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + (-1 + 2*n
)*AppellF1[3/2, 1/2 + n, 1 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2])*Tan[(e + f*x)/2]^2)) - (3*Sqrt[
2]*AppellF1[1/2, -1/2 + n, 1 - n, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*(Sec[(e + f*x)/2]^2)^n*(Cos[(e
+ f*x)/2]^2*Sec[e + f*x])^n*Sqrt[1 + Sec[e + f*x]]*Sin[e + f*x]*Tan[(e + f*x)/2])/(3*AppellF1[1/2, -1/2 + n,
1 - n, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + (2*(-1 + n)*AppellF1[3/2, -1/2 + n, 2 - n, 5/2, Tan[(e
+ f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + (-1 + 2*n)*AppellF1[3/2, 1/2 + n, 1 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e
+ f*x)/2]^2])*Tan[(e + f*x)/2]^2) + (3*Sqrt[2]*n*AppellF1[1/2, -1/2 + n, 1 - n, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[
(e + f*x)/2]^2]*Cos[e + f*x]*(Sec[(e + f*x)/2]^2)^n*(Cos[(e + f*x)/2]^2*Sec[e + f*x])^n*Sqrt[1 + Sec[e + f*x]]
*Tan[(e + f*x)/2]^2)/(3*AppellF1[1/2, -1/2 + n, 1 - n, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + (2*(-1
+ n)*AppellF1[3/2, -1/2 + n, 2 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + (-1 + 2*n)*AppellF1[3/2, 1
/2 + n, 1 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2])*Tan[(e + f*x)/2]^2) + (3*Sqrt[2]*Cos[e + f*x]*(S
ec[(e + f*x)/2]^2)^n*(Cos[(e + f*x)/2]^2*Sec[e + f*x])^n*Sqrt[1 + Sec[e + f*x]]*Tan[(e + f*x)/2]*(-1/3*((1 - n
)*AppellF1[3/2, -1/2 + n, 2 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*Sec[(e + f*x)/2]^2*Tan[(e + f*x
)/2]) + ((-1/2 + n)*AppellF1[3/2, 1/2 + n, 1 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*Sec[(e + f*x)/
2]^2*Tan[(e + f*x)/2])/3))/(3*AppellF1[1/2, -1/2 + n, 1 - n, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + (
2*(-1 + n)*AppellF1[3/2, -1/2 + n, 2 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + (-1 + 2*n)*AppellF1[
3/2, 1/2 + n, 1 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2])*Tan[(e + f*x)/2]^2) - (3*Sqrt[2]*AppellF1[
1/2, -1/2 + n, 1 - n, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*Cos[e + f*x]*(Sec[(e + f*x)/2]^2)^n*(Cos[(
e + f*x)/2]^2*Sec[e + f*x])^n*Sqrt[1 + Sec[e + f*x]]*Tan[(e + f*x)/2]*((2*(-1 + n)*AppellF1[3/2, -1/2 + n, 2 -
n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + (-1 + 2*n)*AppellF1[3/2, 1/2 + n, 1 - n, 5/2, Tan[(e + f*x
)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2])*Sec[(e + f*x)/2]^2*Tan[(e + f*x)/2] + 3*(-1/3*((1 - n)*AppellF1[3/2, -1/2 + n, 2
- n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*Sec[(e + f*x)/2]^2*Tan[(e + f*x)/2]) + ((-1/2 + n)*AppellF
1[3/2, 1/2 + n, 1 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*Sec[(e + f*x)/2]^2*Tan[(e + f*x)/2])/3) +
Tan[(e + f*x)/2]^2*(2*(-1 + n)*((-3*(2 - n)*AppellF1[5/2, -1/2 + n, 3 - n, 7/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e +
f*x)/2]^2]*Sec[(e + f*x)/2]^2*Tan[(e + f*x)/2])/5 + (3*(-1/2 + n)*AppellF1[5/2, 1/2 + n, 2 - n, 7/2, Tan[(e +
f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*Sec[(e + f*x)/2]^2*Tan[(e + f*x)/2])/5) + (-1 + 2*n)*((-3*(1 - n)*AppellF1[5/
2, 1/2 + n, 2 - n, 7/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*Sec[(e + f*x)/2]^2*Tan[(e + f*x)/2])/5 + (3*(
1/2 + n)*AppellF1[5/2, 3/2 + n, 1 - n, 7/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*Sec[(e + f*x)/2]^2*Tan[(e
+ f*x)/2])/5))))/(3*AppellF1[1/2, -1/2 + n, 1 - n, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + (2*(-1 + n
)*AppellF1[3/2, -1/2 + n, 2 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + (-1 + 2*n)*AppellF1[3/2, 1/2
+ n, 1 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2])*Tan[(e + f*x)/2]^2)^2 + (3*AppellF1[1/2, -1/2 + n,
1 - n, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*(Sec[(e + f*x)/2]^2)^n*(Cos[(e + f*x)/2]^2*Sec[e + f*x])^
n*Tan[(e + f*x)/2]*Tan[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[1 + Sec[e + f*x]]*(3*AppellF1[1/2, -1/2 + n, 1 - n, 3/2, Tan[(e
+ f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + (2*(-1 + n)*AppellF1[3/2, -1/2 + n, 2 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[
(e + f*x)/2]^2] + (-1 + 2*n)*AppellF1[3/2, 1/2 + n, 1 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2])*Tan[
(e + f*x)/2]^2)) + (3*Sqrt[2]*n*AppellF1[1/2, -1/2 + n, 1 - n, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*C
os[e + f*x]*(Sec[(e + f*x)/2]^2)^n*(Cos[(e + f*x)/2]^2*Sec[e + f*x])^(-1 + n)*Sqrt[1 + Sec[e + f*x]]*Tan[(e +
f*x)/2]*(-(Cos[(e + f*x)/2]*Sec[e + f*x]*Sin[(e + f*x)/2]) + Cos[(e + f*x)/2]^2*Sec[e + f*x]*Tan[e + f*x]))/(3
*AppellF1[1/2, -1/2 + n, 1 - n, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + (2*(-1 + n)*AppellF1[3/2, -1/2
+ n, 2 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + (-1 + 2*n)*AppellF1[3/2, 1/2 + n, 1 - n, 5/2, Tan
[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2])*Tan[(e + f*x)/2]^2)))

Maple [F]

\[\int \frac {\left (-\sec \left (f x +e \right )\right )^{n}}{\sqrt {\sec \left (f x +e \right )+1}}d x\]

[In]

int((-sec(f*x+e))^n/(sec(f*x+e)+1)^(1/2),x)

[Out]

int((-sec(f*x+e))^n/(sec(f*x+e)+1)^(1/2),x)

Fricas [F]

\[ \int \frac {(-\sec (e+f x))^n}{\sqrt {1+\sec (e+f x)}} \, dx=\int { \frac {\left (-\sec \left (f x + e\right )\right )^{n}}{\sqrt {\sec \left (f x + e\right ) + 1}} \,d x } \]

[In]

integrate((-sec(f*x+e))^n/(1+sec(f*x+e))^(1/2),x, algorithm="fricas")

[Out]

integral((-sec(f*x + e))^n/sqrt(sec(f*x + e) + 1), x)

Sympy [F]

\[ \int \frac {(-\sec (e+f x))^n}{\sqrt {1+\sec (e+f x)}} \, dx=\int \frac {\left (- \sec {\left (e + f x \right )}\right )^{n}}{\sqrt {\sec {\left (e + f x \right )} + 1}}\, dx \]

[In]

integrate((-sec(f*x+e))**n/(1+sec(f*x+e))**(1/2),x)

[Out]

Integral((-sec(e + f*x))**n/sqrt(sec(e + f*x) + 1), x)

Maxima [F]

\[ \int \frac {(-\sec (e+f x))^n}{\sqrt {1+\sec (e+f x)}} \, dx=\int { \frac {\left (-\sec \left (f x + e\right )\right )^{n}}{\sqrt {\sec \left (f x + e\right ) + 1}} \,d x } \]

[In]

integrate((-sec(f*x+e))^n/(1+sec(f*x+e))^(1/2),x, algorithm="maxima")

[Out]

integrate((-sec(f*x + e))^n/sqrt(sec(f*x + e) + 1), x)

Giac [F]

\[ \int \frac {(-\sec (e+f x))^n}{\sqrt {1+\sec (e+f x)}} \, dx=\int { \frac {\left (-\sec \left (f x + e\right )\right )^{n}}{\sqrt {\sec \left (f x + e\right ) + 1}} \,d x } \]

[In]

integrate((-sec(f*x+e))^n/(1+sec(f*x+e))^(1/2),x, algorithm="giac")

[Out]

integrate((-sec(f*x + e))^n/sqrt(sec(f*x + e) + 1), x)

Mupad [F(-1)]

Timed out. \[ \int \frac {(-\sec (e+f x))^n}{\sqrt {1+\sec (e+f x)}} \, dx=\int \frac {{\left (-\frac {1}{\cos \left (e+f\,x\right )}\right )}^n}{\sqrt {\frac {1}{\cos \left (e+f\,x\right )}+1}} \,d x \]

[In]

int((-1/cos(e + f*x))^n/(1/cos(e + f*x) + 1)^(1/2),x)

[Out]

int((-1/cos(e + f*x))^n/(1/cos(e + f*x) + 1)^(1/2), x)